若一個正整數的奇數位數字和與偶數位數字和兩者差的絕對值是 $11$ 的倍數，則這個正整數就是 $11$ 的倍數，否則就不是 $11$ 的倍數。
例 試判斷 $714324314$ 和 $123456789$ 是否為 $11$ 的倍數？
解
判斷 $714324314$ 是否為 $11$ 的倍數：
奇數位數字和 $\Rightarrow \;$ $7+4+2+3+4=20$
偶數位數字和 $\Rightarrow \;$ $1+3+4+1=9$
$\because |20-9|=11$ ， $11$ 是 $11$ 的倍數
$\therefore 714324314$ 是 $11$ 的倍數
判斷 $123456789$ 是否為 $11$ 的倍數：
奇數位數字和 $\Rightarrow \;$ $1+3+5+7+9=25$
偶數位數字和 $\Rightarrow \;$ $2+4+6+8=20$
$\because |25-20|=5$ ， $5$ 不是 $11$ 的倍數
$\therefore 123456789$ 不是 $11$ 的倍數
1.因數👉🏻能整除某個數字的數
比如說第一題 45的因數
能整除的就是1、3、5、9、15、45
刪除 之後 由小到大就是
2、4、6、7、8、10、11、12、13、...
第九數為13
2. 若11為1534口的因數
3. 也就代表1534口能被11整除
4. 👉🏻用除法就可以知道口是哪個數字了~
3.因數若由小到大排序出來
會有左右相乘等於原本的數
例如第一題的45 👉🏻1x45=45 3x15=45
依此類推 然後再回到題目
1xA=某數 axc=某數 接著就是3x62=某數
這樣就知道某數是多少 也知道A、c是多少囉
4.
不是2的倍數👉🏻口不是偶數
不然會整除
不是3的倍數👉🏻口不會是3、6、9
不然會整除
不是11的倍數👉🏻利用除法計算
餘數會為1口 而口不能是1
不然會整除
總結：沒有1、2、3、4、6、8、9
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Ch2 分數的運算 2-1 因數與倍數 因數與倍數 倍數的簡易判別法 質數與合數
標準分解式
笑話一 則： 如何將10顆蘋果分給7人食用？
因數與倍數 a、b、c為任意三個 正整數 若有 a ÷ b ＝c … 0 （b、c可 整除 a） 亦即 a＝b × c 則稱 b、c為 a的因數 兩數的關係詞 a為 b、c的倍數
p81隨堂練習 1. 判斷 60 顆軟糖是否能平分給 8 位學生。 2. 判斷 15 是不是 690 的因數。 是！ 3. 396 是下列哪些數的倍數？ 1、4、11、19、36、396
否！
再練習
1.下列各數中，哪些數是264的因數？ 22
44
66
72
132
2.寫出28在1到200之間的倍數
28、56、84、112、140、168、196
加分題 判別下列敘述何者錯誤？ (B)
(A)1001是13的倍數 (B)10001是17的倍數
(C)29是4669的因數 (D)31是899的因數
◎0和1的情形
因為0不可為除數 所以0不為任何整數的因數 因為0＝0 ×任何非零整數 所以0為任何非零整數的倍數
因為任何整數＝1 ×任何整數 所以 1為任何整數的正因數 （也是最小的正因數） 且任何整數均為1的倍數
◎負數的情形 12 ＝(－1 ) × (－12 )＝(－2 ) × (－6 )＝(－3 ) × (－4 ) 因此 －1、－2、－3、－4、－6、－12 是 12 的負因數 －12 ＝1 × (－12 )＝ 2 × (－6 ) ＝3 × (－4 ) ＝ 4 × (－3 ) ＝6 × (－2 ) ＝12 × (－1 ) 因此－12 是 1、2、3、4、6、12 的負倍數
由此可知， 當 b 是 a 的因數（或倍數）時，
b 的相反數－b 也是 a 的因數（或倍數） 但是如果沒有特別說明， 因數與倍數都是指正因數與正倍數
p82例2 寫出 32 的所有因數
1、2、4、8、16、32 或 1、2、4 32、16、8
p82隨堂練習 1. 寫出 24 的所有正因數。
1、2、3、4、6、8、12、24 2. 寫出 1 ～ 150 中，24 的所有倍數。
24、48、72、96、120、144
倍數的簡易判別法
不是2的倍數＝奇數
個位數字為 0,2,4,6,8
＝
◎2的倍數判別法
偶數
p83隨堂練習 1. 如果四位數 567□ 是 2 的倍數， 那麼 □ 內可以填入哪些數字？ 0,2,4,6,8 2. 如果五位數 134□7 不是 2 的倍數， 那麼 □ 內可以填入哪些數字？
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
◎5的倍數判別法
個位數字為 0,5
p84隨堂練習 1. 試問 400、401、402、……、456 等數中， 哪些是5 的倍數？
400、405、410、…、455，共12個數
2. 若 374 與 61□ 的和是 5 的倍數， 那麼 □ 內可以填入哪些數字？ 1或6 3. 若四位數 123□ 是 2 的倍數，也是 5 的倍數， 則 □＝？ 0
◎4的倍數判別法 末兩位數為 4 的倍數或皆為 0 舉例說明： 為 4 的倍數 因為592＝5 × 100＋92 所以只需判斷92是否為4的倍數即可 p85隨堂練習 1. 判別 3478 與 98756 是否為 4 的倍數。
不是！ 是！ 2. 若五位數 7963□ 為 4 的倍數， 那麼 □ 內可以填入哪些數字？ 2、6 ◎8的倍數判別法 末三位數為 8 的倍數或皆為 0
◎3的倍數判別法 所有數字的和 為3的倍數
舉例說明： 345＝3×100 ＋4×10 ＋5 ＝3×(99＋1)＋4×(9＋1)＋5 ＝3×99＋3 ＋4×9＋4 ＋5 ＝(3×99＋4×9)＋(3＋4＋5) 為 3 的倍數 ◎9的倍數判別法 所有數字的和 為9的倍數
p86隨堂練習 1. 6789 與 12345 是否為 9 的倍數？
不是！不是！ 2. 如果三位數 6□4 是 9 的倍數，那麼 □ 內 可以填入哪些數字？ 8 p87隨堂練習 如果四位數 27□4 是 3 的倍數，那麼 □ 內 可以填入哪些數字？ 2、5、8
再練習 在下列各數中，分別找出3和9的倍數： 69、116、235、288、519、1234、1809 3的倍數： 69、288、519、1809 9的倍數： 288、1809 有一個六位數29817□為3的倍數，則□＝？
0、3、6、9
有一個六位數□29817為3的倍數，則□＝？
3、6、9
想一想 1.如果一個整數是 9 的倍數，則這個整數 一定是 3 的倍數嗎？ 是，因為若a＝9 × c＝3×（3×c） 2. 如果一個整數是 3 的倍數，則這個整數 一定是 9 的倍數嗎？ 不一定是，例如3本身就不是9的倍數
p88探索活動：倍數關係 如果一個數是 2 的倍數，也是 3 的倍數，那麼 這個數除了是 1、2 與 3 的倍數外，也是哪一個 數的倍數？ 如6、12、18…等數是 2 的倍數，也是 3 的倍數 故若一數是 2 的倍數，也是 3 的倍數 則就會是
6 的倍數
加分題
有一個五位數2726□為6的倍數，則□＝？
4 同時為2和3的倍數 □＝1,4,7 □＝0,2,4,6,8
加分題 有 30 張分別標示 1～30 號的紙牌。先將號碼 數為 3 的倍數的紙牌拿掉，然後從剩下的紙 牌中，拿掉號碼數為 2 的倍數的紙牌。若將 最後剩下的紙牌，依號碼數由小到大排列， 則第 5 張紙牌的號碼為何？ 13 《96.基測(一)》第 3 題 剩下紙牌號碼數＝1,5,7,11,13 …
◎11的倍數判別法 奇數位數字和 與 偶數位數字和 的 差 是 11 的倍數或 0 舉例說明： 2537 ＝2×1000 ＋5×100 ＋3×10 ＋7 ＝2×(1001－1)＋5×(99＋1)＋3×(11－1) ＋7 ＝2×1001－2 ＋5×99＋5 ＋3×11－3 ＋7 ＝(2×1001＋5×99＋3×11)＋(5 ＋7)－(2＋3) 為 11 的倍數
p89隨堂練習 1. 下列各數中，哪些是 11 的倍數？ 222、1683、550、61482、90948
1683、550、90948 2. 如果四位數 57□9 是 11 的倍數， 那麼 □ 內可以填入哪些數字？ 0
再練習 於下列各數字中，找出11的倍數： 11、517、8888、12345、743347、9090906 11、517、8888、743347、9090906
有一個六位數23□785為11的倍數，則□ ＝？
5
加分題
有一個六位數7□2□49是11的倍數，其 中□代表同樣的數字，則□＝？
2
13
9＋2×□
有一個五位數1□385為33的倍數，則□＝？
1
質數與合數 如果一個 大於 1 的整數 除了 1 和本身之外，還有其他的因數 則稱此數為合數
如果一個 大於 1 的整數 只有 1 和本身兩個因數 則稱此數為質數： 2、3、5、7 …
◎重要結論 1 不是質數也不是合數 2 是最小的質數，也是質數中唯一的偶數 4 是最小的合數
p90隨堂練習
1. 判別 51 和 52 是質數還是合數。 51 還有因數 3 52 還有因數 2，故兩數都是合數 2. 請將下表的質數圈出來。 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
p90探索活動：質數與合數的奇、偶判別
1. 所有的質數都是奇數嗎？為什麼？ 不一定。 例如 2 為質數且為偶數。 2. 所有的合數都是偶數嗎？為什麼？ 不一定。 例如 9 為合數且為奇數。
加分題 若兩個質數的和為18 則兩個質數可以是5,13和7,11兩種可能 若兩個質數的和為49 則此兩個質數會有幾種可能，為哪兩數？ 只有一種可能 為2,47 兩數的和若為奇數 必為一個奇數與一個偶數
◎質數篩檢法
課文p91
古希臘數學家埃拉托賽尼發現的方法： 埃拉托賽尼篩法 步驟 1：因為 1 不是質數，也不是合數，所以刪去 1 步驟 2： 圈選 2 並刪去其餘 2 的倍數 步驟 3： 圈選 3 並刪去其餘 3 的倍數 步驟 4： 圈選 5 並刪去其餘 5 的倍數 步驟 5： 圈選 7 並刪去其餘 7 的倍數
p91隨堂練習 請在下表圈出 51 到 100 之間的質數。
51 61 71 81 91
52 62 72 82 92
53 63 73 83 93
54 64 74 84 94
55 65 75 85 95
56 66 76 86 96
57 67 77 87 97
58 68 78 88 98
59 60 69 70 79 80 89 90 99 100
補充 利用埃拉托賽尼篩法找出小於 100 的質數 為何只須使用質數 2、3、5、7 篩檢就可以 而不須使用 11（或更大的質數）篩檢？
因為 11 的倍數中，除了 11 以外 11 的 2、3、4、5、6、7、8、9 倍 在前面的步驟中已經全被刪除 而 11 的 10、11、倍皆會超過 100
◎ 100以內的質數： 共25個 2 11 23 31 41 53 61 71 83 97
3 13 29 37 43 59 67 73 89
5 17
47
79
7 19
◎ 100以內的質數：另一種寫法
2 3 5 11 17 23 29 41 47 53 59 71 83 89 7 13 19 31 37 43 61 67 73 79 97 除了2和3以外 質數都是6的倍數餘1或不足1
加分題 設「aΘb」代表大於a且小於b的所有質數的個數 例如： 大於10且小於15的質數有11、13兩個質數 所以10Θ15＝2 若cΘ85＝4，則c最大為何數？最小為何數？
70 83、79、73、71
67
加分題（2分） 如右圖 一個正方體的六個面上，各有一個正整數 且相對兩面的兩個正整數之和都相等 如果11、23、38的對面依次為a、b、c 且a、b、c皆為質數 則a、b、c各是多少？
a ＝29 、b＝17、c＝2
標準分解式 ◎質因數：如果 a 是 b 的因數，且 a 也是質數 就稱 a 為 b 的質因數 例： 12 的因數有 1、2、3、4、6、12， 其中 2、3 又是質數， 因此， 2、3 是 12 的質因數。
p92隨堂練習 分別將整數 30、42、57 的全部因數填入下表， 並將它們的質因數找出來。 整數 30
因數
1、2、3、5、6、10、15、30 42 1、2、3、6、7、14、21、42 57 1、3、19、57
質因數
2、3、5 2、3、7 3、19
加分題 364的所有質因數總和為多少？ 2、7、13
22
課文p92 ◎質因數分解： 將一個正整數寫成其質因數的 乘積 方法一：樹狀法 方法二：短除法
2 24 2 12 2 6 3
24 3
8
2
4 2
2
24＝3×2×2×2＝23×3
24＝23×3
◎樹狀法的題目 若甲數＝13×14×15 則下列何者不是甲數的因數？ (A) (A)60 (B)65 (C)70 (D)42 設P＝21×22×23×24×25 則P有幾個相異質因數？
6個：2,3,5,7,11,23
◎標準分解式： 24＝23×3 小的質因數寫前面 大的質因數寫後面 同數連乘一定要寫成指數形式 p93隨堂練習 將 680 做質因數分解 並寫出 680 的相異質因數。
680＝23× 5× 17 相異質因數為 2、5、17
p94隨堂練習 1. 求 420 的標準分解式 並寫出 420 的相異質因數。 420 ＝ 22
×3×5×7 相異質因數為 2、3、5、7
2. 小潼將正整數 a 分解成 質因數乘積，計算過程 如右。試寫出下列各數 的標準分解式：
b＝ 22 × 32 × 52 × 7 2 × 52 × 7 3 d＝
2×7 5 f＝
2｜ a 2｜ b 2｜ c 3｜ d 3｜ e 。 5｜ f 5｜ g 。 7
。
再練習 將下列各數寫成標準分解式︰ (1)40 (2)68 (3)81 (4)120 (5)351 (6)1188
(1)40＝23×5 (2)68＝22×17 (3)81＝34 (4)120＝23×3×5 (5)351＝33×13 (6)1188＝22×33×11
加分題 將某數作質因數分解如下：求a＋b＋c＋d的值
2 a ＝756 2 b ＝378 3 c ＝189 3 d ＝ 63 3 21 7
1386
p95隨堂練習上 若 a＝23 × 3 × 7 則 2、3 × 7、22 × 32、23 × 7、37中， 哪些是 a 的因數？
2、3 × 7、23 × 7
加分題
(C) 72
若 a＝1.071 × 106，則 a 是下列哪一數的倍數？ (A) 48 (B) 64 (C) 72 (D) 81 《98.基測(一)》第 30 題
a＝1071× 103 ＝32× 7× 17× 23× 53 ＝23 ×32 × 53 ×7 × 17
p95隨堂練習下 若兩個大於 1的正整數乘積為 80，且和為奇數， 求此兩正整數。 因為 80＝a × b，且 a＋b 為奇數 所以 a、b 中必恰有一數為奇數
而 80的因數中，大於 1的奇數只有 5 又 80＝ 5 × 16 所以此兩正整數為 5、16
加分題 a、b 為兩個正整數，其中 a＜b 如果 a × b＝70，且 a＋b＝19 則 a、b之值分別是多少？ 5、14 a、b 為70的成對因數 70＝1 × 70 ＝2 × 35 ＝5 × 14 ＝7 × 10
p97自我評量 1. 下列敘述中，哪一個是正確的？ (A) (A) 1 是 17 的因數 (B) 因為 8＝1.6 × 5，所以 5 是 8 的因數 (C) 1 是 3 的倍數 (D) 個位數字是 3、6 或 9 的整數， 一定是 3 的倍數 2. 若 45 可分解為 a × b，其中 a、b 均為正整數， 則下列哪一個不可能是 a＋b 的值？ (B) (A) 46 (B) 42 (C) 18 (D) 14
3. 已知 2579□是五位數，依照下列各題的條件， 分別寫出□中的數字。 (1) 2 的倍數：□＝ 0、2、4、6、8 。 (2) 3 的倍數：□＝ 1、4、7。 (3) 是 2 的倍數，又是 3 的倍數：□＝ 4 。 (4) 5 的倍數：□＝ 0、5 。 (5) 9 的倍數：□＝ 4 。 (6) 11 的倍數：□＝ 5 。
4. 怡芬想將 n 個邊長為 1 的小正方形，拼成一 個長、寬皆大於 1 的長方形，則 n 可能為下列 哪一個數？ (C) 需為合數 (A) 17 (B) 23 (C) 91 (D) 97
5.將下表的質數圈出來，恰好可形成一個注音符 號，試問這個注音符號是什麼呢？ ㄐ 7
12
63
67
1
13
14
77
59
10
19
81
27
5
25
31
41
3
43
91
49
26
51
2
45
65
52
33
23
57
6. 將 980 做質因數分解， 並寫出 980 的相異質因數。 980＝22
× 5 × 72，
980 的相異質因數為 2、5、7 7. 寫出 432 及 234 的標準分解式。 432 ＝24
× 33 234 ＝2 × 32 × 13
8. 下列哪一個數不是 2 × 34 × 52 的因數？ (B) (A) 2
(B) 4
(C) 5
(D) 9
9. 小真的電腦密碼有四碼 abcd，分別隱藏在 600 的標準分解式 2a × b × cd 中，試問此密碼為何？ (A) 3352 (B) 3351 (C) 2325 (D) 2351 600＝23
× 3 × 52
(A)