國一數學下第一次題庫下載題庫
上一題
下ㄧ題
- 查單字:關
19.將一百元紙鈔兌換成含有十元及五元硬幣的零錢,且兩種不同幣值的硬幣各至少 1 個, 請問有幾種兌換方法?
(A) 7 種
(B) 8 種
(C) 9 種
(D) 10 種。
編輯私有筆記及自訂標籤
國一數學下第一次- 102 年 -
2013新北市市立八里國中七年級102 下學期數學第一次段考(期中考)#62695
答案:C
難度: 非常簡單
- 討論
- 私人筆記( 0 )
最佳解! | |
小洋 高三上 (2020/02/27) 檢舉 |
你可以購買他人私人筆記。
- 查單字:關
懸賞詳解
X
國二理化上第二次
6. 今有空氣、氧氣、氮氣分別盛於甲、乙、丙三個 集氣瓶中,均為無色、無臭、無味的氣體,以燭火 分別插入,其燃燒的程度為何? (A)甲>乙>�...
10 x
前往解題 懸賞詳解
X
國三地球科學下第一次
6.下列哪一種方法可促使空氣團中的水氣含量達到飽和? (A)提高空氣團的高度(B)降低空氣團的高度 (C)提高空氣團的溫度(D)降低空氣團的水氣量。...
50 x
前往解題 數學題庫下載題庫
上一題
下ㄧ題
- 查單字:關
16. 宜潔零錢包中有 5 元和 10 元硬幣若干個,5 元和 10 元至少都有 1 個,總值有 90 元,請問硬幣的總數最多有幾個?
(A) 18
(B) 17
(C) 16
(D) 15
編輯私有筆記及自訂標籤
數學-
105 年 - 台船105年技術類數學#47324
答案:B
難度: 非常簡單
- 討論
- 私人筆記( 0 )
1F Feng Wei Yeh 國二上 (2016/03/22) 設Y=1 X=16 總計16+1=17 檢舉 | |
2F r0936981110 小一上 (2016/03/22) 檢舉 | |
3F 【站僕】摩檸Morning 國三上 (2016/03/23) 檢舉 |
你可以購買他人私人筆記。
- 查單字:關
懸賞詳解
X
國一數學上第一次
7.|-8|=-8的相反數 (A)O(B)X...
10 x
前往解題 懸賞詳解
X
國二國文上第三次
「人比人,氣死人」,拿人比人,實在很傷人。一個心理學家風趣的說:「想傷害一個人很簡單,你只要找個人跟他比一比就夠了。」儘管「人比人�...
50 x
前往解題 最近有一道笔试题引起了小伙伴们的激烈讨论。
参考博客
作为算法菜鸟非常感谢大神的分析和举例。博客地址
问题描述
目前市面上的纸币主要有1元,5元,10元,20元,50元、100元六种,如果要买一件商品x元,有多少种货币组成方式?思路一
现有6种面额的纸币用来组合成给定的x元金额。那么可以大致推出这个等式
sum 表示给定的金额
{x1, x2, x3, x4, x5, x6}分别表示1元,5元,10元,20元,50元、100元的张数
s u m = x 1 ∗ 1 + x 2 ∗ 5 + x 3 ∗ 10 + x 4 ∗ 20 + x 5 ∗ 50 + x 6 ∗ 100 sum = x1 * 1 + x2 * 5 + x3 * 10 + x4 * 20 + x5 * 50 + x6 * 100 sum=x1∗1+x2∗5+x3∗10+x4∗20+x5∗50+x6∗100
如此看来其实就是求解满足这个等式的 {x1, x2, x3, x4, x5, x6} 的所有可能的个数。
可以通过循环来依次确定每种面额的纸币有多少张,最终来判断,不同张数的组合最终是否等于x元。
于是有了如下代码:
执行结果如下:
循环次数:142065 组合数:3274 执行时间:13ms结果分析
这种解决方式虽然可以得到正确的结果,但是计算量很大,循环次数随着指定的金额增大会越来越高。性能也就非常差,基本上数字超过1000,就是无脑循环了。所以这并不是最优解。
思路二
从上面的分析中我们也可以这么考虑,我们希望用m种纸币构成sum元。
s u m = x 1 ∗ V 1 + x 2 ∗ V 2 + . . . + x m ∗ V m sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + xm * Vm sum=x1∗V1+x2∗V2+...+xm∗Vm
根据最后一个面额Vm的系数的取值为无非有这么几种情况,xm分别取{0, 1, 2, …, sum/Vm},换句话说,上面分析中的等式和下面的几个等式的联合是等价的。
s u m = x 1 ∗ V 1 + x 2 ∗ V 2 + . . . + 0 ∗ V m sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 0 * Vm
sum=x1∗V1+x2∗V2+...+0∗Vm
s u m = x 1 ∗ V 1 + x 2 ∗ V 2 + . . . + 1 ∗ V m sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 1 * Vm sum=x1∗V1+x2∗V2+...+1∗Vm
s u m = x 1 ∗ V 1 + x 2 ∗ V 2 + . . . + 2 ∗ V m sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 2 * Vm sum=x1∗V1+x2∗V2+...+2∗Vm
. . . ... ...
s u m = x 1 ∗ V 1 + x 2 ∗ V 2 + . . . + K ∗ V m sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + K * Vm
sum=x1∗V1+x2∗V2+...+K∗Vm
其中K是该xm能取的最大数值K = sum / Vm。可是这又有什么用呢?不要急,我们先进行如下变量的定义:
dp[i][sum] = 用前i种硬币构成sum 的所有组合数。
那么题目的问题实际上就是求dp[m][sum],即用前m种纸币(所有纸币)构成sum的所有组合数。
在上面的联合等式中:
当xm=0时,有多少种组合呢?
实际上就是前i-1种纸币组合sum,有dp[i-1][sum]种!xm = 1 时呢,有多少种组合?
实际上是用前i-1种纸币组合成(sum - Vm)的组合数,有dp[i-1][sum -Vm]种;xm =2呢, dp[i-1][sum - 2 * Vm]种,等等。
所有的这些情况加起来就是我们的dp[i][sum]。所以:
d p [ i ] [ s u m ] = d p [ i − 1 ] [ s u m − 0 ∗ V m ] + d p [ i − 1 ] [ s u m − 1 ∗ V m ] + d p [ i − 1 ] [ s u m − 2 ∗ V m ] + . . . + d p [ i − 1 ] [ s u m − K ∗ V m ] ; dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0*Vm] + dp[i-1][sum - 1*Vm] + dp[i-1][sum - 2*Vm] + ... + dp[i-1][sum - K*Vm]; dp[i][sum]=dp[i−1][sum−0∗Vm]+dp[i−1][sum−1∗Vm]+dp[i−1][sum−2∗Vm]+...+dp[i−1][sum−K∗Vm];
其中K = sum / Vm
换一种更抽象的数学描述就是:
d p [ i ] [ s u m ] = ∑ k = 0 s u m / v m d p [ i − 1 ] [ s u m − K ∗ V m ] dp[i][sum] = \sum_{k=0}^{sum/vm} dp[i-1][sum - K*Vm] dp[i][sum]=k=0∑sum/vmdp[i−1][sum−K∗Vm]
通过此公式,我们可以看到问题被一步步缩小,那么初始情况是什么呢?如果sum=0,那么无论有前多少种来组合0,只有一种可能,就是各个系数都等于0;
dp[i][0] = 1 // i = 0, 1, 2, … , m
如果我们用二位数组表示dp[i][sum], 我们发现第i行的值全部依赖与i-1行的值,所以我们可以逐行求解该数组。如果前0种纸币要组成sum,我们规定为dp[0][sum] = 0.
第二种代码实现方式
public class Demo1 { /** * @param x 商品金额 */ public static void test2(int n){ //纸币面额 int money[]={1,5,10,20,50,100}; int dp[] = new int[n+1]; dp[0] = 1; for(int i = 0;i < 6;++i){ for(int j = money[i];j <= n;++j){ dp[j] =(dp[j]+dp[j-money[i]]); } } System.out.println(dp[n]); } public static void main(String[] args) { long startTime = System.currentTimeMillis(); //指定200元的金额 test2(200); long endTime = System.currentTimeMillis(); System.out.println("执行时间:" + (endTime - startTime) + "ms"); } }执行结果如下
3274 执行时间:0ms分析
这种思路属于算法中的动态规划。也是动态规划的经典题目。很明显,大大优化了思路一的性能问题。