等 比 公式

等比數列

a（n+1）/an=q,n為自然數。

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• 等比數列
• 通項公式
• 求和公式
• 錯位相消法
• 不同的方法
• 錯位相消法(求解)
• 比例法(求解)
• 裂項求和法(求解)
• 指數函式法
• 程法(求解)
• 反向思維法(證明)
• 特徵方程法
• 等差等比数列求和公式
• 等比数列及它的和
• 等比数列
• 例子： {1，2，4，8……}
• "几何"数列
• 等比数列的和：等比级数
• 例子： 把以下的等比数列的头 4 项加起来
• 使用公式
• 例子：棋盘上的米
• 例子：把以下的等比数列的头 10 项加起来（每项是上一项的一半）：
• { 1/2，1/4，1/8，1/16……}
• 为什么公式是这样的？
• 无穷等比级数
• 例子：把每项小一半的数列的所有的项加起来：
• { 1/2，1/4，1/8，1/16…… }
• 循环小数
• 例子：计算 0.999……

通項公式

an=a1*q^（n－1）。

推廣式

an=am·q^(n－m)

求和公式

Sn=n*a1(q=1)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)（q不等於1）

性質

等比數列的性質①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，則am·an=ap*aq；

②在等比數列中，依次每k項之和仍成等比數列。

“G是a、b的等比中項”“G^2=ab（G≠0）”.

在等比數列中，首項A1與公比q都不為零。

注意

上述公式中A^n表示A的n次方。

n種求法

錯位相消法

教材中介紹的方法叫做“錯位相消法”。這個方法不僅可以用於等比數列，還可以用於等比數列與等差數列乘積的求和。

不同的方法

這裡用不同的方法來證明這一公式的成立。首先要知道等比數列的求和公式，下面的方法有的是求解，有的是證明
在這裡要說明點的是，如果從極限的觀點來看，當q=1與q≠1的時候，兩個公式可以合二為一，具體可以參考《等比數列求和公式的統一》一文。一開始講的，當然就是書本上的錯位相消法了。為了方便起見，下面的證明過程只考慮q≠1的情況。

錯位相消法(求解)

利用等比數列的定義：an+1=qan,有下面的式子成立；

比例法(求解)

根據等比數列的性質，an+1/an=q，所以有下面的式子成立；

裂項求和法(求解)

這個方法主要是對數列的通項公式進行變形，使之可以進行裂項求和；

指數函式法

指數函式這個方法是看到等比數列的通項公式是一個類似指數函式，從而可以通過構造函式的方法求得數列求和公式，構造函式f(x)=a1qx.則f(x+1)-f(x)=a1(q-1)qx.所以有下面的式子成立：

f(1)-f(0)=a1(q-1)q0.

f(2)-f(1)=a1(q-1)q1.

f(3)-f(2)=a1(q-1)q2.

……………………

f(n)-f(n-1)=a1(q-1)qn-1.

將上述各式左右相加並化簡得：

f(n)-f(0)=a1(q-1)(q0+q1+q2+……+qn-1)=(q-1)Sn

而f(n)=a1qn,f(0)=1，帶入即可得到等比數列求和公式。方

程法(求解)

此方法是構造兩個關於Sn的方程，通過求解方程的方法求解Sn，消去Sn-1，解這方程組即可得Sn。

反向思維法(證明)

這種方法主要就是運用公式an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+……+bn-1)

特徵方程法

還有一個特徵方程法，特徵方程是一個非常有用的工具，特別是在求解斐波拉契數列的通項公式中，特徵方程起了非常大的作用。

等比數列求和公式

等差等比数列求和公式

来源:高中动态作者：高老师 时间：2021-07-18 13:57:57浏览0次

如果你曾经学过计算机的知识，那你肯定对 2 这个数字比较敏感，因为计算机底层使用的便是 2 进制数（0、1）。关于 2 这个数字有许多比较神奇的地方，比如下面这个关于 2 的序列：

1、2、4、8、16、......\quad\quad(1)

你会惊奇地发现，当你对它的前 n 项求和时，你会得到这样的一个规律：

S_{n} = 2^n - 1（\ n \ 代表的是总共有多少项）

我们代入上面的数字进去计算验证一下：

\ 2^1 - 1 = 1
2^2 - 1 = 1+2 = 3
2^3-1 = 1+2+4=7
2^4-1=1+2+4+8=15
......

真的是这样，有时候碰到这样的序列求和用这么一个神奇的公式就能直接搞定，简直不要太方便。

我们回到主题，上述中的（1）式，便是我们今天要讨论的 等比数列。

等比数列和等差数列的区别在于数列中相邻两项之间不是相差一个常数值，而是相差一个常数倍，比如（1）式，相邻两项之间是 2 倍的关系，2 便是数列中的公比。我们知道了等比数列的首项 a_{1} ，知道了公比 q ，那我们就可以通过下面这个公式得到数列中的任何一项：

a_{n}=a_{1}*q^{n-1}\quad(n\ 指的是第\ n \ 项)

关于这么一个等比数列的求和公式该怎么计算呢？这一次我们需要用到数列计算当中经常用到的一个手法：错位相减法。 所谓错位相减即指两个等式相减的时候，其中一个等式的第 m 项减去的是另一个等式的第 n 项（\bm{m\ne n}）。我们错开位置相减，目的是为了更方便地计算得到我们想要的结果。为了更清楚的理解这个方法，我们直接看下面的推导过程：

上面（2）和（3）两个公式中，相同的项减去后相互抵消，（2）式右边最终留下了 a_{1} ，（3）式右边留下了 a_{1}*q^n ，(3) - (2) 整理后得：

S_{n} = \frac{a_{1}*(q^n-1)}{q-1}\quad\quad(4)

公式（4）便是我们最终得到的等比数列求和公式。

回到我们最初的序列（1），我们运用（4）式计算前 n 的和，是不是和最初找规律所得到的结果一样呢？

等比数列及它的和

数列

序列是一组顺序排列的东西，若这些东西是数，我们便称之为数列。

等比数列

在等比数列里，每一项和下一项的比是个常数。

例子：

2，4，8，16，32，64，128，256……/font>

每项和下一项的比是 2。

除了第一项外，每项是上一项乘以2。

等比数列的一般写法是：

{a，ar，ar2，ar3…… }

其中：

• a 是首项，
• r 是项与项之间的比 （叫 "公比"）

例子： {1，2，4，8……}

这个数列从 1 开始，然后每项加倍，所以

• a=1 （首项）
• r=2 （"公比"：每项加倍）

数列是：

{a，ar，ar2，ar3…… }

= {1，1×2，1×22，1×23, ...…… }

= {1，2，4，8…… }

但留意，r 不能是 0：

• 若 r=0，数列便是 {a，0，0……}，不是等比数列了

规则

我们可以用以下的规则来求任何一项：

xn = ar(n-1)

（用 "n-1"，因为首项是 ar0）

例子：

每项和下一项的比是 3。

a 和 r 是：

• a = 10 （首项）
• r = 3 （"公比"）

规则是：

xn = 10 × 3(n-1)

所以，第 4 项是：

x4 = 10×3(4-1) = 10×33 = 10×27 = 270

第 10 项是：

x10 = 10×3(10-1) = 10×39 = 10×19683 = 196830

等比数列也可以有越来越小的项：

例子：

每项和下一项的差是 0.5（一半）。

规则是 xn = 4 × (0.5)n-1

"几何"数列

等比数列也叫"几何数列"。为什么？

因为数列好像几何维数的扩大：

	一条线是 1 维，长度是 r
平方型是 2 维，面积是 r2
正方体型是 3 维，体积是 r3
。。。等。。。（在数学里可以有 4 维或更高）。

等比数列的和：等比级数

我们用以下的公式把等比数列的项加起来。

加：

a + ar + ar2 + ... + ar(n-1)

每项是 ark，k 从 0 开始，到 n-1 为止

公式是：

a 是首项
r 是项与项之间的 "公比"
n 是项的个数

那奇怪的符号是什么？ 是 总和符号

意思是 "加起来"

在符号的下面和上面是开始值和结束值：

意思是： "以 n 从 1 到 4，把 n 加起来。答案=10

使用公式很简单……只需 "代入" a、r 和 n 的值

例子： 把以下的等比数列的头 4 项加起来

每项和下一项的比差是 3。

a、r 和 n 是：

• a = 10（首项）
• r = 3（"公比"）
• n = 4（加头 4 项）

所以：

变成：

自己来检验：

10 + 30 + 90 + 270 = 400

在这例子，把它加起来就可以，以为只有 4 项。但如果有 50 项……用公式就方便多了。

使用公式

让我们来看看怎样使用这个公式：

例子：棋盘上的米

在二进制数字这页，我们提及棋盘上的米的例子。问题是：

把米这样放到棋盘上：

• 1 颗米在第一个格子，
• 2 颗米在第二个格子，
• 4 颗米在第三个格子，
• 依此类推……

……每个格子里的米是上一个格子的 两倍……

……棋盘上总共有多少颗米？

已知：

• a = 1（首项）)
• r = 2（每项大一倍）
• n = 64（棋盘有 64 个格子）

所以:

变成：

= (1-264) / (-1) = 264 - 1

= 18,446,744,073,709,551,615

和在 二进制数字 这页算出来的一样。（真巧！）

再举个例，这次 r 小于 1：

例子：把以下的等比数列的头 10 项加起来（每项是上一项的一半）：

{ 1/2，1/4，1/8，1/16……}

a、r 和 n 是：

• a = ½（首项）
• r = ½（每次小一半）
• n = 10（加 10 项）

所以：

变成：

离 1 很近。

（问题：n 越来越大会怎样？）

为什么公式是这样的？

我们来看看为什么公式是这样的，我们会用一个有趣的"技巧"。

留意到 S 和 S·r 很相似吗？

把它们相减！

哈！中间的项差不多全消去了。
（酷！）

把 S·r 从 S 减去，结果是：

S − S·r = a − arn

重排来求 S：

这就是我们要导出的公式（厉害！）：

无穷等比级数

当 n 趋近无穷大时会怎么样？

……若 r 小于 1，rn 会趋近 零，结果是：

注意：若 r 是 1 或大于 1（或小于 -1），以上便不管用：

r 必须是在 -1 和 1 之间（但不包括 1 和 -1）

并且，r 也不能是 0，因为数列会变成 {a，0，0……}，不是等比数列了

再看看以上的例子：

例子：把每项小一半的数列的所有的项加起来：

{ 1/2，1/4，1/8，1/16…… }

已知：

• a = 1/2（首项）
• r = 1/2（每项小一半）

所以：

= ½ × 1 / ½ = 1

对了……(1/2)+(1/4)+(1/8)+……。

还不相信？看看这正方形： 把(1/2)+(1/4)+(1/8)+……加起来 ……我们得到整个正方形!

循环小数

在另一个网页中我们问："0.999……是不是等于 1？"我们来算算：

例子：计算 0.999……

循环小数可以写成这样：

现在可以用公式：

惊艳！0.999…… 真的等于 1。

……等比数列和它的和非常有用。