星型连接和三角形连接

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三相发电机的特性在于，当各相的负载具有电阻性质时，其输出功率P=VI=1RV2{\displaystyle \scriptstyle P\,=\,VI\,=\,{\frac {1}{R}}V^{2}} 是恒定的。

PLi=VLi2R{\displaystyle P_{Li}={\frac {V_{Li}^{2}}{R}}} PTOT=∑iPLi{\displaystyle P_{TOT}=\sum _{i}P_{Li}}

为了使计算更方便，先定义一个无量纲的功率值p=1VP2PTOTR{\displaystyle \scriptstyle p\,=\,{\frac {1}{V_{P}^{2}}}P_{TOT}R} 作为中间量，则：

p=sin2⁡θ+sin2⁡(θ−23π)+sin2⁡(θ−43π)=32{\displaystyle p=\sin ^{2}\theta +\sin ^{2}\left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)+\sin ^{2}\left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)={\frac {3}{2}}}

代回：

PTOT=3VP22R{\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2R}}}

最终结果中不含θ{\displaystyle \theta } （相位角）由此可见发电机动率的输出不会随着时间的变化而变化。对于大型发电机来说，这点尤为重要。

实际上，发电机的负载不一定要带有电阻的性质，只需各个相位相等即可，设：

Z=|Z|ejφ{\displaystyle Z=|Z|e^{j\varphi }}

因此最大电流为：

IP=VP|Z|{\displaystyle I_{P}={\frac {V_{P}}{|Z|}}}

所有相位上的瞬时电流大小为：

IL1=IPsin⁡(θ−φ){\displaystyle I_{L1}=I_{P}\sin \left(\theta -\varphi \right)} IL2=IPsin⁡(θ−23π−φ){\displaystyle I_{L2}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)} IL3=IPsin⁡(θ−43π−φ){\displaystyle I_{L3}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)}

这时各个相位的功率输出为：

PL1=VL1IL1=VPIPsin⁡(θ)sin⁡(θ−φ){\displaystyle P_{L1}=V_{L1}I_{L1}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta \right)\sin \left(\theta -\varphi \right)} PL2=VL2IL2=VPIPsin⁡(θ−23π)sin⁡(θ−23π−φ){\displaystyle P_{L2}=V_{L2}I_{L2}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)} PL3=VL3IL3=VPIPsin⁡(θ−43π)sin⁡(θ−43π−φ){\displaystyle P_{L3}=V_{L3}I_{L3}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)}

利用三角恒等式里的积化和差与和差化积公式：

PL1=VPIP2[cos⁡φ−cos⁡(2θ−φ)]{\displaystyle P_{L1}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \varphi -\cos \left(2\theta -\varphi \right)\right]} PL2=VPIP2[cos⁡φ−cos⁡(2θ−43π−φ)]{\displaystyle P_{L2}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \varphi -\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)\right]} PL3=VPIP2[cos⁡φ−cos⁡(2θ−83π−φ)]{\displaystyle P_{L3}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \varphi -\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]}

得出瞬时功率输出为：

PTOT=VPIP2{3cos⁡φ−[cos⁡(2θ−φ)+cos⁡(2θ−43π−φ)+cos⁡(2θ−83π−φ)]}{\displaystyle P_{TOT}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left\{3\cos \varphi -\left[\cos \left(2\theta -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]\right\}}

中括号中的三项互相抵消，得出最终的结果为：

PTOT=3VPIP2cos⁡φ{\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}I_{P}}{2}}\cos \varphi }

或者

PTOT=3VP22|Z|cos⁡φ{\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2|Z|}}\cos \varphi }

当一个星形接法是平衡负载，即使接上中线也没有电流。流过中性点的电流即三相电流的向量之和，参见基尔霍夫定律。

IL1=VL1−NR,IL2=VL2−NR,IL3=VL3−NR0=IL1+IL2+IL3+IN{\displaystyle {\begin{aligned}I_{L1}&={\frac {V_{L1-N}}{R}},\;I_{L2}={\frac {V_{L2-N}}{R}},\;I_{L3}={\frac {V_{L3-N}}{R}}\\0&=I_{L1}+I_{L2}+I_{L3}+I_{N}\end{aligned}}}

定义一个非无量纲量的电流，大小为i=INRVP{\displaystyle i={\frac {I_{N}R}{V_{P}}}} :

i=sin⁡θ+sin⁡(θ−2π3)+sin⁡(θ+2π3)=sin⁡θ+2sin⁡θcos⁡2π3=sin⁡θ−sin⁡θ=0{\displaystyle {\begin{aligned}i&=\sin \theta +\sin(\theta -{\frac {2\pi }{3}})+\sin(\theta +{\frac {2\pi }{3}})\\&=\sin \theta +2\sin \theta \cos {\frac {2\pi }{3}}\\&=\sin \theta -\sin \theta \\&=0\end{aligned}}}

流过中线的电流大小为零。因此将中线拿掉而不影响电路本身，证明输出的功率是恒定的。一般三相三线制只有在三相的电源或者负荷都连接在同一个电路上（例如三相电动机），否则各相的输入电压的波动会造成输出功率的不稳定。