小胖想把50元硬幣換成10元和5元的零錢若兩種硬幣至少各1個請問他有幾種換法

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查單字:關

19.將一百元紙鈔兌換成含有十元及五元硬幣的零錢，且兩種不同幣值的硬幣各至少 1 個，請問有幾種兌換方法？
(A) 7 種
(B) 8 種
(C) 9 種
(D) 10 種。

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國一數學下第一次- 102 年 - 2013新北市市立八里國中七年級102 下學期數學第一次段考(期中考)#62695

答案：C
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最佳解!

小洋高三上 (2020/02/27)
有條件限制下的二元一次方程式：設十元硬幣x個，5元硬幣y個依題意可知: x+y=100因為x.....觀看完整全文，請先登入

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國二理化上第二次

6. 今有空氣、氧氣、氮氣分別盛於甲、乙、丙三個集氣瓶中，均為無色、無臭、無味的氣體，以燭火分別插入，其燃燒的程度為何？ (A)甲＞乙＞�...

10 x

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國三地球科學下第一次

6.下列哪一種方法可促使空氣團中的水氣含量達到飽和? (A)提高空氣團的高度(B)降低空氣團的高度 (C)提高空氣團的溫度(D)降低空氣團的水氣量。...

50 x

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查單字:關

16. 宜潔零錢包中有 5 元和 10 元硬幣若干個，5 元和 10 元至少都有 1 個，總值有 90 元，請問硬幣的總數最多有幾個？
(A) 18
(B) 17
(C) 16
(D) 15

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數學- 105 年 - 台船105年技術類數學#47324

答案：B
難度： 非常簡單

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1F

Feng Wei Yeh 國二上 (2016/03/22)
5x+10y=90

設Y=1

X=16

總計16+1=17

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2F

r0936981110 小一上 (2016/03/22)
答案為B

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3F

【站僕】摩檸Morning 國三上 (2016/03/23)
原本答案為D,修改為B

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X

國一數學上第一次

7.|-8|=-8的相反數 (A)O(B)X...

10 x

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國二國文上第三次

「人比人，氣死人」，拿人比人，實在很傷人。一個心理學家風趣的說：「想傷害一個人很簡單，你只要找個人跟他比一比就夠了。」儘管「人比人�...

50 x

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最近有一道笔试题引起了小伙伴们的激烈讨论。

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作为算法菜鸟非常感谢大神的分析和举例。博客地址

问题描述

目前市面上的纸币主要有1元，5元，10元，20元，50元、100元六种，如果要买一件商品x元，有多少种货币组成方式？

思路一

现有6种面额的纸币用来组合成给定的x元金额。那么可以大致推出这个等式
sum 表示给定的金额
{x1, x2, x3, x4, x5, x6}分别表示1元，5元，10元，20元，50元、100元的张数

s u m = x 1 ∗ 1 + x 2 ∗ 5 + x 3 ∗ 10 + x 4 ∗ 20 + x 5 ∗ 50 + x 6 ∗ 100 sum = x1 * 1 + x2 * 5 + x3 * 10 + x4 * 20 + x5 * 50 + x6 * 100 sum=x1∗1+x2∗5+x3∗10+x4∗20+x5∗50+x6∗100

如此看来其实就是求解满足这个等式的 {x1, x2, x3, x4, x5, x6} 的所有可能的个数。
可以通过循环来依次确定每种面额的纸币有多少张，最终来判断，不同张数的组合最终是否等于x元。
于是有了如下代码：

public class Demo1 {

    /**
     * @param x 商品金额
     */
    public static void test1(int x){
        int sum = 0;
        //符合条件的组合次数
        int count = 0;
        //循环次数
        int times = 0;
        //硬币面额
        int[] a = {1, 5, 10, 20, 50, 100};

        for (int i = 0; i <= x / a[5]; i++) {
            //100元可能出现的张数
            for (int j = 0; j <= x / a[4]; j++) {
                //50元可能出现的张数
                for (int k = 0; k <= x / a[3]; k++) {
                    //20元可能出现的张数
                    for (int l = 0; l <= x / a[2]; l++) {
                        //10元可能出现的张数
                        for (int m = 0; m <= x / a[1]; m++) {
                            //5元可能出现的张数
                            //for(int n=0;n<x/1;n++){//这步循环可省略
                            int n = x - (i * a[5] + j * a[4] + k * a[3] + l * a[2] + m * a[1]);
                            sum = i * a[5] + j * a[4] + k * a[3] + l * a[2] + m * a[1] + n * a[0];
                            times++;
                            if (sum == x && n >= 0) {
                                count++;
                            }
                            //}
                        }
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println("循环次数：" + times);
        System.out.println("组合数：" + count);
    }

    public static void main(String[] args) {
        long startTime = System.currentTimeMillis();
        //指定200元的金额
        test1(200);
        long endTime = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("执行时间：" + (endTime - startTime) + "ms");
    }

}

执行结果如下：

循环次数：142065
组合数：3274
执行时间：13ms

结果分析

这种解决方式虽然可以得到正确的结果，但是计算量很大，循环次数随着指定的金额增大会越来越高。性能也就非常差，基本上数字超过1000，就是无脑循环了。所以这并不是最优解。

思路二

从上面的分析中我们也可以这么考虑，我们希望用m种纸币构成sum元。

s u m = x 1 ∗ V 1 + x 2 ∗ V 2 + . . . + x m ∗ V m sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + xm * Vm sum=x1∗V1+x2∗V2+...+xm∗Vm

根据最后一个面额Vm的系数的取值为无非有这么几种情况，xm分别取｛0, 1, 2, …, sum/Vm｝,换句话说，上面分析中的等式和下面的几个等式的联合是等价的。
s u m = x 1 ∗ V 1 + x 2 ∗ V 2 + . . . + 0 ∗ V m sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 0 * Vm sum=x1∗V1+x2∗V2+...+0∗Vm

s u m = x 1 ∗ V 1 + x 2 ∗ V 2 + . . . + 1 ∗ V m sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 1 * Vm sum=x1∗V1+x2∗V2+...+1∗Vm

s u m = x 1 ∗ V 1 + x 2 ∗ V 2 + . . . + 2 ∗ V m sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 2 * Vm sum=x1∗V1+x2∗V2+...+2∗Vm

. . . ... ...

s u m = x 1 ∗ V 1 + x 2 ∗ V 2 + . . . + K ∗ V m sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + K * Vm sum=x1∗V1+x2∗V2+...+K∗Vm
其中K是该xm能取的最大数值K = sum / Vm。可是这又有什么用呢？不要急，我们先进行如下变量的定义：

dp[i][sum] = 用前i种硬币构成sum 的所有组合数。

那么题目的问题实际上就是求dp[m][sum]，即用前m种纸币（所有纸币）构成sum的所有组合数。

在上面的联合等式中：

当xm=0时，有多少种组合呢？
实际上就是前i-1种纸币组合sum，有dp[i-1][sum]种！
xm = 1 时呢，有多少种组合？
实际上是用前i-1种纸币组合成(sum - Vm)的组合数，有dp[i-1][sum -Vm]种;
xm =2呢， dp[i-1][sum - 2 * Vm]种，等等。

所有的这些情况加起来就是我们的dp[i][sum]。所以：

d p [ i ] [ s u m ] = d p [ i − 1 ] [ s u m − 0 ∗ V m ] + d p [ i − 1 ] [ s u m − 1 ∗ V m ] + d p [ i − 1 ] [ s u m − 2 ∗ V m ] + . . . + d p [ i − 1 ] [ s u m − K ∗ V m ] ; dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0*Vm] + dp[i-1][sum - 1*Vm] + dp[i-1][sum - 2*Vm] + ... + dp[i-1][sum - K*Vm]; dp[i][sum]=dp[i−1][sum−0∗Vm]+dp[i−1][sum−1∗Vm]+dp[i−1][sum−2∗Vm]+...+dp[i−1][sum−K∗Vm];

其中K = sum / Vm

换一种更抽象的数学描述就是：

d p [ i ] [ s u m ] = ∑ k = 0 s u m / v m d p [ i − 1 ] [ s u m − K ∗ V m ] dp[i][sum] = \sum_{k=0}^{sum/vm} dp[i-1][sum - K*Vm] dp[i][sum]=k=0∑sum/vmdp[i−1][sum−K∗Vm]

通过此公式，我们可以看到问题被一步步缩小，那么初始情况是什么呢？如果sum=0，那么无论有前多少种来组合0，只有一种可能，就是各个系数都等于0；

dp[i][0] = 1 // i = 0, 1, 2, … , m

如果我们用二位数组表示dp[i][sum], 我们发现第i行的值全部依赖与i-1行的值，所以我们可以逐行求解该数组。如果前0种纸币要组成sum，我们规定为dp[0][sum] = 0.

第二种代码实现方式

public class Demo1 {

    /**
     * @param x 商品金额
     */
    public static void test2(int n){
        //纸币面额
        int money[]={1,5,10,20,50,100};
        int dp[] = new int[n+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0;i < 6;++i){
            for(int j = money[i];j <= n;++j){
                dp[j] =(dp[j]+dp[j-money[i]]);
            }
        }
        System.out.println(dp[n]);
    }
    public static void main(String[] args) {
        long startTime = System.currentTimeMillis();
        //指定200元的金额
        test2(200);
        long endTime = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("执行时间：" + (endTime - startTime) + "ms");
    }

}