PART 9:指數函數的微分 不是歐拉數為底的指數函數 \(f(x) = {a^x}(a > 0\;,\;a
\ne 1)\) ,微分技巧有兩種方法 指数对数微分 单变量微积分 / 自然指数函数求导\displaystyle f(x)=e^x\\{}\\ f^\prime=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}\\{}\\ =\lim_{\Delta x\to0}e^x\cdot\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\{}\\ =\lim_{\color{Red}n\to+\infty}e^x\cdot \frac{e^{\color{red}\frac{1}{n}}-1}{\color{red}\frac{1}{n}}\\{}\\ \because e=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\\{}\\ \therefore \lim_{n\to+\infty}e^x\cdot \frac{e^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}\\{}\\ =\lim_{n\to+\infty}e^x\left[\left(\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}-1\right]n\\{}\\ =e^x 所以我们得出了一个结论: (e^x)^\prime=e^x 自然对数函数求导自然对数定义:y=e^x\Leftrightarrow\ln y=x
我们来用隐函数微分来求导\ln x: \displaystyle f(x)=\ln x\\{}\\ \because e^{\ln x}=x\\{}\\ \therefore f(x)=\ln x\Rightarrow e^f=x\\{}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^f=x)\Rightarrow\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}f}e^f\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=1\\{}\\ \Rightarrow\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{e^f}=\frac{1}{x}\\{}\\ \Rightarrow f^\prime=\frac{1}{x} 我们得出自然对数函数导数的结论: \displaystyle (\ln x)^\prime=\frac{1}{x} 任意指数函数求导利用好a=e^{\ln a}的性质,这是「换底法」: \displaystyle f(x)=a^x\\{}\\ f^\prime=(a^x)^\prime=[(e^{\ln a})^x]^\prime=(e^{x\ln a})^\prime 我们巧妙的把对a^x的求导问题转换成了对e^{x\ln a}的求导问题,但是要小心,这是个复合函数。前面的章节我们了解到复合函数的导数就是外部函数的导数和内部函数的导数的乘积: y(x)=x\ln a\\{}\\ z(y)=e^y\\{}\\ (e^{x\ln a})^\prime=z^\prime y^\prime=(e^y)^\prime(x\ln a)^\prime\\{}\\ =e^y\ln a=(\ln a)e^{x\ln a}=(\ln a)a^x 我们得出了结论: (a^x)^\prime=(\ln a)a^x 来点例子: \displaystyle (2^x)^\prime=(\ln 2)2^x\\{}\\ (10^x)^\prime=(\ln 10)10^x
顺便用链式法则再来看看e^{cx}的求导,其中c是常数: \displaystyle y(x)=cx\\{}\\ z(y)=e^y\\{}\\ (e^{cx})^\prime=z^\prime y^\prime=e^yc=ce^{cx} 我们得出了结论: \displaystyle (e^cx)^\prime=ce^{cx} 我们可以继续推广e^{cx}的高阶导数的规律: (e^{cx})^{\prime\prime}=(ce^{cx})^\prime=c^2e^{cx}\\{}\\ \Rightarrow (e^{cx})^{(n)}=c^ne^{cx} 对数微分法上面说了「换底法」,现在来说说「对数微分法」,这两个方法始终适用于变动的指数。 \displaystyle (\ln u)^\prime=\frac{u^\prime}{u}\\{}\\ \because \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln u=\frac{\mathrm{d}\ln u}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{u^\prime}{u} 我们继续用这个方法看下a^x求导: \displaystyle u=a^x\\{}\\ \ln u=x\ln a\\{}\\ (\ln u)^\prime=\ln a\\{}\\ \frac{u^\prime}{u}=(\ln u)^\prime=\ln a\\{}\\ u^\prime=u\ln a\\{}\\ (a^x)^\prime=(a^x)\ln a\\{}\\ (a^x)^\prime=(\ln a)a^x 来点例子: \displaystyle f(x)=x^x\\{}\\ \ln f=x\ln x\\{}\\ (\ln f)^\prime=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}\\{}\\ \frac{f^\prime}{f}=1+\ln x\\{}\\ \Rightarrow f^\prime=f\cdot(1+\ln x)\\{}\\ (x^x)^\prime=x^x(1+\ln x) 看下e的性质: \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\\{}\\ \ln \left[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]\\{}\\ =\lim_{n\to\infty}\left[n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]\\{}\\ \Delta x=\frac{1}{n}\to0\\{}\\ =\frac{1}{\Delta x}\ln (1+\Delta x)\\{}\\ \ln 1=0\\{}\\ \frac{1}{\Delta x}\ln (1+\Delta x)\\{}\\ =\frac{1}{\Delta x}\left[\ln\left(1+\Delta x\right)-\ln 1\right]\\{}\\ =\frac{\ln (1+\Delta x)-\ln 1}{\Delta x}\\{}\\ \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x\bigg|_{x=1}=\frac{1}{x}\bigg|_{x=1}=1\\{}\\ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\\{}\\ =\exp\left[\lim_{n\to\infty}\ln\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]\right]\\{}\\ =e^1=e 不妨我们在用指数的方式来看待下x^n求导问题: \displaystyle a_k=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\\{}\\ \lim_{k\to\infty}a_k=e\\{}\\ \ln a_k\longrightarrow 1,(k\to\infty)\\{}\\ a_k=e^{\ln a_k}\longrightarrow e^1=e\\{}\\ \ln a_k=k\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=\to\infty\cdot0\\{}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^n=(e^{n\ln x})^\prime\\{}\\ =e^{n\ln x}(n\ln x)^\prime\\{}\\ =x^n\cdot\frac{n}{x}\\{}\\ =nx^{n-1} |